След като прочетох поста на iffi за научния хумор, си припомних един стар, но не много популярен полицейски анекдот.

Един джигит минал на червено и имал късмета да го спре полицай. Започнал да се оправдава, че виждал зелена светлина, когато преминавал през кръстовището. Полицаят помислил, почесал се малко и му написал акт за превишена скорост.

Тук изниква един интересен въпрос: Каква глоба е отнесъл джигитът?

Отговорът после, сега да видим откъде му е хрумнало на катаджията да пише акт за превишена скорост. Много просто — сетил се е за доплеровия ефект.

Какво е доплеров ефект?

Така се нарича явлението, при което наблюдателят приема вълна с различна честота от тази, с която източникът е излъчил вълната. Този ефект се наблюдава, когато източникът и наблюдателят се движат един спрямо друг. Когато се отдалечават, честотата, приемана от наблюдателя е по-ниска от излъчената от източника. Обратно, когато те се приближават, наблюдателят приема вълна с по-висока честота. Законът за изменение на честотата при доплеров ефект изглежда ето така:

$$ f = \left( \frac{v}{v \pm v_s} \right) f_0 .$$

Тук $f_0$ е честотата, с която източникът излъчва вълна, а $f$ е честотата, с която я приема наблюдателят; $v$ е скоростта на разпространение на вълната в дадената среда, а $v_s$ е скоростта, с която източникът и наблюдателят се движат един спрямо друг. Знакът е ‘$+$’, ако се отдалечават и ‘$-$’, ако се приближават.

Всичко това е много хубаво, но какво общо има доплеровият ефект с нашата басня за катаджията и джигита? Споменах вече в предишен пост, че светлината е електромагнитна вълна и се движи с крайна скорост, поради това доплеров ефект съществува и при излъчването и приемането на светлина.

Така, в нашата историйка си имаме източник и наблюдател — в ролята на светофара и джигита съответно.  Освен това те се движат един спрямо друг. Светофарът е светел червено. Не знам точно на каква дължина на вълната е излъчвал, но He-Ne лазер излъчва на близо 630 nm и цветът му много се доближава до цвета на червен светофар, затова ще приемем, че червеният светофар има такава дължина на вълната. За зеления цвят ще направим друго подобно нещо. Втората хармонична на Nd:YAG лазер е на 532 nm, което е горе-долу в средата на зелената част от видимия спектър, затова ще приемем, че зеленият светофар има такава дължина на вълната. Да обобщим, за дължини на вълните на червеното и на зеленото взехме съответно $\lambda_r = 630 nm$ и $\lambda_g = 532 nm$. Светлината пък се движи във въздух със скорост $v \equiv c \approx 3 \cdot 10^8 m/s$.

Не съм съвсем коректен, по-горе казах, че при доплеров ефект честотата се променя, а тук говоря за дължини на вълните. Всъщност те са пряко свързани със скоростта на светлината (която на всичкото отгоре е константа) така:

$$ f = \frac{c}{\lambda}.$$

Т.е. честотата $f$ е обратнопропорционална на дължината на вълната $\lambda$. Сега става ясно, че зеленият цвят е с по-висока честота от червения. Доплеровият ефект пък казва, че възприеманата честота е по-висока от излъчената, ако източникът и наблюдателят се приближават един към друг. Нашият случай е такъв — джигитът се приближава към светофара. Значи, чисто теоретично, е възможно джигитът да е видял червения цвят като зелен. Нека да видим, обаче, с каква скорост трябва да се е движил той, за да направи такова наблюдение.

Сметката е проста. Заместваме честотата в първата формула с израза за дължините на вълните, като имаме предвид, че джигитът се приближава към светофара (знакът е ‘$-$’) и получаваме:

$$ \lambda_g = \left( \frac{c – v_s}{c} \right) \lambda_r.$$

Тук сме заместили $v$ с $c$. Сега трябва само да решим това уравнение спрямо скоростта на приближаване на джигита към кръстовището $v_s$. С малко алгебрични сметки стигаме до следната формула за $v_s$:

$$ v_s = c \left( 1 – \frac{\lambda_{g}}{\lambda_{r}} \right).$$

Готово, сега като заместим с числата, ще получим колко бързо трябва да се е движил джигитът, за да види червения светофар като зелен.

$$ v_s = 3 \cdot 10^8 \left( 1 – \frac{532 \cdot 10^{-9}}{630 \cdot 10^{-9}} \right) \approx 4.67 \cdot 10^7 m/s.$$

Така написано не изглежда много, но всъщност тази скорост е достатъчна да се обиколи веднъж Земята по екватора за една секунда.

Е, джигитът трябва да е отнесъл бая солена глоба за движение с такава скорост, като се има предвид, че разрешената в града е едва $14 m/s$. Мисля, че по-леко щеше да му се размине с глобата за минаване на червено.

В нашата историйка за джигита и полицая има и други също толкова невероятни неща. Сигурно сте се сетили кои.